Karekök Üçün İrrasyonel İspatı

Karekök Üçün İrrasyonel İspatı

Karekök 2’nin neden irrasyonel olduğunu ispatladıktan sonra, sizlerden gelen yoğun istek üzerine karekök üçün de neden irrasyonel olduğunu burada açıklıyoruz.

Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir. 

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir. 

Şimdi karekök üçün irrasyonel olduğunun ispatına geçelim. Bunu yaparken karekök üçün neden rasyonel olamayacağını ispatlayacağız: Kök üçün, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b’nin aralarında 1’den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök üç = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

3(b^2)=(a^2)          (2)

Denklem iki’nin sağlanabilmesi için a ve b’nin her ikisinin de ya çift ya da tek sayı olması gereklidir. Ancak a ve b aralarında asal olduğu için ikisinind e çift olma ihtimali yoktur. Dolayısıyla Denklem 2’nin sağlanabilmesi için a ve b’nin tek olması gereklidir. Şimdi a ve b’yi tek sayı olarak farklı bir şekilde ifade edelim: