Karekök İkinin İrrasyonel İspatı

Karekök İkinin İrrasyonel İspatı

Karekök İkinin İrrasyonel İspatıKarekök İkinin İrrasyonel İspatı

Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım;

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir.

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir.

Şimdi karekök iki’nin irrasyonel olduğunun ispatına geçelim. Bunu yaparken karekök ikinin neden rasyonel olamayacağını ispatlayacağız:


Kök ikinin, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b’nin aralarında 1’den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).


Kök iki = a/b (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

2(b^2)=(a^2) (2)

Şimdi en başta belirttiğimiz üzere a ve b’nin aralarında asal olması için her ikisinin de çift sayı olmaması gerekir. Bu koşulu sağlamak için a veya b birinin ya da her ikisinin de tek sayı olması lazımdır.

Denklem (2) de gördüğümüz gibi eşitliğin sol tarafındaki (a^2) terimi çift sayıdır. Bu terimin çift olabilmesi için a sayısının da çift olması gerekir. Çünkü, a sayısı tek ise, a’nın kendisi ile çarpımı da tek sayıyı verecektir.
Elimizdeki verilere göre a sayısının çift olması gerektiğini bulduk. Dolayısıyla, kök iki eğer rasyonelse, üst paragrafta ki bulgumuza göre b tek sayı olmak zorundadır- bunu aklınızın bir kenarında tutun. Şimdi, a’yı çift sayı olarak şu şekilde ifade edelim:

a=2k (3)
Denklem (3)’deki a’ya denk gelen ‘2k’ terimini Denklem (2)’deki a yerine koyalım:

2(b^2)=4(k^2) (4)

Sadeleştirme yaparsak şu eşitliği bulmuş oluyoruz:

(b^2)=2(k^2) (5)

Ancak Denklem (2) ve (5)”e göre a değeri de b değeri de çift sayı çıkmaktadır ! Dolayısıyla, kök ikinin ispatı için gereken, a a ve b’nin aralarında asal olma koşulunu sağlayamıyoruz.
Sonuç olarak da kök iki ye rasyonel sayı diyemediğimiz için kök iki irrasyonel sayı oluyor.

Yazar Can Simit

Karekök İkinin İrrasyonel İspatı” yazısında 5 düşünce

Bir yanıt yazın