Karekök 5 Sayısının İspatı

Karekök 5 Sayısının İspatı

Karekök 5 Sayısının İspatı - 01

Karekök 5 Sayısının İspatı; önceki yazılarımızda karekök 2’nin ve karekök 3’ün irrasyonel sayı olduklarının ispatını yapmıştık. Şimdi karekök 5’in irrasyonel sayı olduğunun ispatını yapalım.

Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir.

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir.

Şimdi Kök 5’in, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b’nin aralarında 1’den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök 5 = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

5(b^2)=(a^2)        (2)

Denklem (2) ye göre eğer b çift sayı ise a, a^2 ve b^2 çift sayı olmalıdır. Benzer şekilde eğer b tek sayı ise, a, a^2 ve b^2 tek sayı olmalıdır. Şimdi a’yı ve b’yi aşağıdaki gibi tek sayı olarak ifade edelim:

a= 2m+1              (3)
b= 2n+1              (4)

Denklem (3) ve (4) ü, denklem (2) nin içerisine koyarsak:

5[(2n+1)^2]=(2m+1)^2         (5)

Denklem (5) in her iki tarafını açalım:

20n^2+20n+5 = 4m^2+4m+1         (6)

Denklem (6) nın her iki tarafından bir çıkaralım:

20n^2+20n+4 = 4m^2+4m             (7)

Denklemin her iki tarafını 4’e bölelim:

5n^2+5n+1 = m^2+m                     (8)

Denklem (8) deki terimleri sadeleştirirsek:

5n(n+1) + 1 = m (m+1)                   (9)

Şimdi Denklem (9) deki “n(n+1)” ve “m(m+1) çarpımlarına dikkatle bakalım. Bu çarpımların sonucu, n veya m terimi ister çift ister tek olsun, her zaman çift çıkacaktır. Dolayısıyla Denklem (8) ‘i şu şekilde ifade edebiliriz:

5*Çift + 1 = Çift                           (10)

Dikkat ederseniz Denklem (10)’un sağ tarafı çift olurken, sol tarafı tek sayı olmaktadır. Matematikte hem çift hem de tek sayı olmadığı için Denklem (1) geçersiz olmaktadır. Dolayısıyla kök 5 sayısı rasyonel bir sayı olamaz.

Kaynaklar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_5
Karekök 5 Sayısının İspatı

Karekök 5 Sayısının İspatı” yazısında 2 düşünce

Bir yanıt yazın