Ana SayfaBilimKarekök 5 sayısının irrasyonel olduğunun ispatı

Karekök 5 sayısının irrasyonel olduğunun ispatı

Karekök 5 sayısının irrasyonel olduğunun ispatı

Önceki yazılarımızda karekök 2’nin ve karekök 3’ün irrasyonel sayı olduklarının ispatını yapmıştık. Şimdi karekök 5’in irrasyonel sayı olduğunun ispatını yapalım.

Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir.

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir.

Şimdi Kök 5’in, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b’nin aralarında 1’den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök 5 = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

5(b^2)=(a^2)        (2)

Denklem (2) ye göre eğer b çift sayı ise a, a^2 ve b^2 çift sayı olmalıdır. Benzer şekilde eğer b tek sayı ise, a, a^2 ve b^2 tek sayı olmalıdır. Şimdi a’yı ve b’yi aşağıdaki gibi tek sayı olarak ifade edelim:

a= 2m+1              (3)
b= 2n+1              (4)

Denklem (3) ve (4) ü, denklem (2) nin içerisine koyarsak:

5[(2n+1)^2]=(2m+1)^2         (5)

Denklem (5) in her iki tarafını açalım:

20n^2+20n+5 = 4m^2+4m+1         (6)

Denklem (6) nın her iki tarafından bir çıkaralım:

20n^2+20n+4 = 4m^2+4m             (7)

Denklemin her iki tarafını 4’e bölelim:

5n^2+5n+1 = m^2+m                     (8)

Denklem (8) deki terimleri sadeleştirirsek:

5n(n+1) + 1 = m (m+1)                   (9)

Şimdi Denklem (9) deki “n(n+1)” ve “m(m+1) çarpımlarına dikkatle bakalım. Bu çarpımların sonucu, n veya m terimi ister çift ister tek olsun, her zaman çift çıkacaktır. Dolayısıyla Denklem (8) ‘i şu şekilde ifade edebiliriz:

5*Çift + 1 = Çift                           (10)

Dikkat ederseniz Denklem (10)’un sağ tarafı çift olurken, sol tarafı tek sayı olmaktadır. Matematikte hem çift hem de tek sayı olmadığı için Denklem (1) geçersiz olmaktadır. Dolayısıyla kök 5 sayısı rasyonel bir sayı olamaz.

Kaynaklar:
https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_5

2 YORUMLAR

PAYLAŞ

Yeni Yazılar