Kara Deliklerdeki Yerçekimi Kuvveti

Kara delikler, içerisinde uzay-zamandaki ışığı bile içine çekebilecek kadar yüksek bir yerçekimi olan, dolayısıyla içinden hiçbir maddenin kaçamadığı küresel objelerdir. Bazı kara delikler  iğne ucu kadar olmasına rağmen kütlesi ayın kütlesine eşittir. Bazı kara delikler bir şehir büyüklüğünde olmasına rağmen güneşin 10 katı ağırlığındadır.

Şimdi Newton’un evrensel kütle çekim yasasını kullanarak 0,1 mm çapında ancak ay kadar kütleye sahip bir kara deliğin dış yüzeyindeki yerçekimi kuvvetinin, dünyanın yüzeyindeki yerçekimi kuvvetine göre kaç kat büyük olduğunu hesaplayalım:

Newton’un evrensel çekim yasası evrendeki birbirine belli bir uzaklıkta olan iki maddenin birbirini çekme kuvvetini bulmamızı sağlar:

 F = G* (m1 * m2 )                                                              (1)
                    r^2    
       
Denklem 1 deki F iki cismin arasındaki çekim kuvvetini (birimi N), m1 ve m2 iki cismin kütlelerini (birimleri kg), r iki cismin kütle merkezleri arasındaki uzaklığı (birimi m) ve G evrensel yerçekimi sabitini göstermektedir. G sabiti yaklaşık olarak 6,67×10^-11 büyüklüğünde ve birimi N*m^2/kg^2 dir. Şimdi önce dünyanın, dünyanın yüzeyindeki küresel bir objeye uyguladığı yerçekimini bulalım. Şekil 1 de görüldüğü üzere m2‘ye dünyanın kütlesi (5,97*10^24 kg), m1‘e dünya yüzeyindeki objenin kütlesi, r değerini ise dünyanın kütle merkezi ile m1 objesi arasındaki uzaklığı yani dünyanın yarıçapı* (6371 km = 6.371.000 m) olarak alalım.

* Hesaplamaları kolaylaştırmak için dünyayı küre olarak kabul ediyoruz. Ayrıca, m1 objesi dünyadan çok çok küçük olacağı için m1‘in çapını ihmal ediyoruz. Eğer m1‘in boyutu dünya ile karşılaştırılabilir bir büyüklükte olursa o zaman aralarındaki mesafe, yani r, iki objenin yarıçapları toplamına eşit olur.

Şimdi Denklem 1‘deki terimleri şu sırada yazalım:

F= (G*m2)* m1                                                                       (2)
         r^2

Üstteki paragrafta verilen G, m2 ve r değerlerini Denklem 2 de kullanarak dünyanın küresel m1 objesine uyguladığı yerçekimi kuvvetini bulabiliriz:

F= 9,81 * m1                                                                            (3)

Dikkat ederseniz Denklem 3‘ün sağ tarafındaki sayı (9,81) Dünya’daki yerçekimi ivmesidir. Yani Denklem 2 ve Denklem 3‘de eşitliğin sağ tarafındaki ilk terimde dünyadaki yerçekimi ivmesini buluyorsunuz. Bu terimin m1 ile çarpımı aslında dünya yüzeyindeki m1 objesinin (ya da herhangi bir objenin) dünyadaki ağırlığını (N) göstermektedir. Dolayısıyla, Denklem 1‘in doğruluğunu da kanıtlamış olduk.

Dünyadaki yerçekimi ivmesinin 9,81 m/s^2 olduğunu  Newton’un evrensel yerçekimi yasasıyla (Denklem 1) bulduk. 

Şimdi ay kadar ağır ancak 0,1 mm boyutundaki (iğne ucu kadar) bir kara delikteki yerçekimi ivmesini bulalım. Aslında yapacağımız şey çok kolay, Denklem 2‘yi ve Şekil 1‘i kara deliğe göre uyarlayacağız. Bir diğer deyişle, m2 kütlesinde bir kara deliğin yüzeyinde bulunan ve karadelikten r kadar uzakta bulunan m1 objesine uygulanan kuvveti bulacağız. Şimdi m2 için kara deliğin kütlesini yani ayın kütlesini (7,35*10^22 kg) alıyoruz. r değerini ise 0,1 mm alıyoruz. Denklem iki’de bu değerleri koyduğumuzda kara delik üzerindeki m1 kütlesine sahip objeye uygulanan kuvvet aşağıdaki denklemle bulunur: 

F= 49,02*10^13 * m1                                                              (4)

Yani kara delikteki yerçekimi ivmesi  49,02*10^13 m/s^2’dir. Yani, dünyanın yerçekimi ivmesinin yaklaşık 50 trilyon katıdır. Ancak, Denklem 4‘ün hesaplanması için m1 objesinin kara delikten ihmal edilecek kadar küçük olması lazımdır. 

Peki iğne ucu büyüklüğündeki bu kara deliğin yüzeyinde bir insan büyüklüğünde bir küre olsa bu kuvvet ne olur: Tahmini bir hesap yapalım. Diyelim ki objenin çapı 1 m olsun. O zaman Denklem 2‘deki r mesafesi objenin kütle merkezi ile kara deliğin kütle merkezi arasındaki mesafenin toplamı yani kara deliğin yarıçapı (0.1 mm = 0.0001 m) ile kürenin yarıçapı (1 m) toplamı olur:

r= 1 m + 0.0001 m = 1,0001 m                                                 (5) 

Denklem 5‘deki r değerini, G sabitini ve kara deliğin kütlesini Denklem 2‘ye koyarsak m1 objesine uygulanan kuvvetin formulü aşağıdaki gibi olur:

F= 4,90*10^12 * m1                                                                (6)

Sonuç: İnsan boyutundaki bir obje, iğne büyüklüğünde fakat ay kadar ağır bir karadeliğin yüzeyinde bulunursa görece 5 trilyon m/s^2 yerçekimi ivmesine maruz kalır. Bu değer dünyadaki yerçekimi ivmesinin yaklaşık 500 milyar katıdır. Bir diğer deyişle, bir insan, iğne ucu kadar küçük ancak ay kadar ağır bir karadelikte dünyadaki ağırlığının 500 milyar katı kadar daha ağır olur. 

Önemli Not: Denklem 2’yi kullanarak herhangi bir çapta ve büyüklükte bir karadelik küresinin yüzeyindeki herhangi bir boyutta ve kütledeki cisme uyguladığı yerçekimi ivmesini göreceli olarak hesaplayabilirsiniz. Ancak Newton’un yasası karadelikler de geçerli olmayabilir. Örneğin, Newton’un yasasına göre (Denklem 1) kütlesi sıfır veya sıfıra çok yakın olan ışığın üzerine uygulanan çekim kuvvetinin sıfır ya da sıfıra çok yakın olması gerekir. Ancak karadeliklerde bu olmamakta, ışık karadelikten kaçamamaktadır. Dolayısıyla, Newton’un yerçekimi yasasının karadeliklerde ne derecede doğru sonuç verdiğini araştırmak gerekir. Muhtemelen bununla ilgili araştırmalar çoktan yapılmıştır, ancak benim henüz bu konuyla ilgili bir bilgim yok.

Kara Deliklerdeki Yerçekimi Kuvveti